Распечатать страницу

Новые публикации МГУЛ

Новоселов О.Н. Идентификация и анализ динамических систем: Монография. 2-е изд. испр. и доп.- М.: Изд. Моск. гос. ун-та леса, 2007.- 316с.

Рецензенты:

• А.С.Исаев, академик РАН, научный руководитель Центра по проблемам экологии и продуктивности лесов РАН
• Е.И.Шемякин, академик РАН, зав. кафедрой волновой и газовой динамики мехмата МГУ
• В.А.Дубровский, докт. физ.-мат. наук, проф. кафедры волновой и газовой динамики мехмата МГУ

Откуда взять законы природы? Как извлечь максимум информации из экспериментальных данных? К ответам на эти вопросы приближает предлагаемая книга, выходящая во втором издании.

Во многих предметных отраслях, особенно связанных с природой и человеком - экологии, лесном деле, биологии, медицине и др. специалисты ищут уравнения (законы) для математического описания процессов и явлений, чтобы обоснованно предсказывать приближение таких катастрофических явлений как землетрясения, гибель леса, эпидемия, инфаркт, инсульт и т. д.

В данной книге предлагается регулярный метод построения уравнений, для которого нужны только экспериментальные данные - ряды измерений. Приведены примеры из экологии, медицины, биологии, а также экономики, которая имеет много общего с природными системами.

В качестве математической основы автор использовал разностные уравнения и дискретные отображения, которые понятны даже без специальной математической подготовки.

Изложение доступно для широкого круга читателей - инженеров, исследователей, аспирантов и студентов.

УДК 519.6
Адрес издательства (для заказов): 141005 Мытищи-5 Московской обл., 1-я Институтская ул., 1, МГУЛ.
Телефоны: (495) 687-43-77
Факс: 588-51-09
E-mail: izdat@mgul.ac.ru
Проф. Новоселов О.Н. д.т.н. заведующий кафедрой информационно-измерительных систем Московского государственного университета леса
Телефон и e-mail автора: (495) 687-43-78, onn@mgul.ac.ru

O.N.Novoselov. Identification and Analysis of Dynamical Systems (in Russian). 2-nd ed.- M.: Publ. of Moscow State Univ. of Forest, 2007.- 316p.

Summary

1. It is necessary the mathematical description (mathematical model) of the dynamical system to analyze or to predict of its possible behavior and to control of it. It is known the difficulties of mathematical description of dynamics of nonlinear systems - physical, ecological, biological etc. We offer one of constructible approaches-construction of phenomenological model, which describes system according to criterion of statistical adequacy of two signals: first signal is generated by model equation and second signal is output experimental observed signal of real system and in addition according to criterion of adequacy of Poincare-maps of those signals.
2. Mathematical problem is reconstruction of equation by the known solution which is time series of the measured values of observed signal. This inverse problem solution is ambiguous and is subjected to strong influence of errors and noises at the experimental data computing errors. We obtained the solution of this problem at the class of nonlinear recurrence multi connected difference equations of polynomial type by integer powers. To obtain that equation it is necessary: 1) to estimate some high order statistical moments by observation time series and then; 2) to compute equation coefficients by sample statistical moment estimates. We had obtained the solution by the conditions if a connected order and a polynomial equation power are not known and therefore it is developed the algorithm for estimating (recognition) the best values of connected order and polynomial equation power.
3. It is obtained
   • development of the techniques of mathematical construction of phenomenological recurrence difference equations (as the mathematical models of the natural systems) from the experimental observations;
   • development of mathematical techniques of analysis and solution of nonlinear difference equations;
   • development of the techniques of computing phenomenological simulation and predicting of system evolution versus time;
   • theory applications to the solution of the problems of medicine, biology, ecology, seismology and the other areas the same as early detecting of the forerunners of infarctions, ecological catastrophes, earthquakes and the other risk phenomenons.

Prof. Novoselov O.N. Doct. of Tech. Sci. Moscow State University of Forest, Department of the Information-Measuring Systems,
Mytischy Moscow Region
Russia 141005
E-mail: onn@mgul.ac.ru

Оглавление

Предисловие
Введение

Глава 1. ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
1.1. Семантическая и феноменологическая модели системы
1.2. Динамика численности популяции
1.3. Изменения индекса ширины годичного кольца дерева
1.4. Экономическая система - "Производство - сбыт одного вида товара"
1.5. Ритмика сердца
1.6. Нейронная сеть головного мозга
1.7. Постановка задачи построения феноменологического разностного уравнения по зарегистрированной последовательности значений наблюдаемого параметра динамической системы
1.8.Оценивание коэффициентов рекуррентного полинома
1.9. Аналитический эксперимент
1.10. Численный эксперимент
1.11. Оценка влияния размера выборки на точность восстановления коэффициентов уравнения
1.12. Оценка влияния помех (погрешностей) на точность идентификации
1.13. Выбор (распознавание) порядка и степени полиномиального феноменологического уравнения
1.14. Порождающий шум системы и реликтовый шум Вселенной

Глава 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПРИРОДНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
2.1. Феноменологическая идентификация динамики лесных экосистем по данным экологического мониторинга
2.2. Прогноз динамики лесной экосистемы при полностью определенном феноменологическом уравнении
2.3. Оценка скрытых параметров экосистемы при известном уравнении
2.4. Построение заранее неизвестного феноменологического уравнения изменения ширины годичного кольца дерева по экспериментальным данным
2.5. Синтез многомерных нелинейных феноменологических уравнений электрокардиограмм (ЭКГ)
2.6. Анализ фрактальной размерности диаграмм (сечений) Пуанкаре фактической и модельной ЭКГ
2.7. Феноменологическая идентификация динамических систем в экономической математике
2.8. Феноменологическая идентификация динамики стоимости акций

Глава 3. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
3.1. Нахождение полного множества решений уравнения динамической системы
3.2. Множество решений линейного однородного разностного уравнения первого порядка
3.3. Общее решение линейного однородного разностного уравнения второго порядка
3.4. Построение и анализ множества решений линейного разностного уравнения второго порядка
3.5. Анализ влияния начальных значений на асимптотическое поведение решений разностного уравнения второго порядка
3.6. Численный пример сходящегося решения вне односвязной области асимптотической сходимости
3.7. Геометрия множества решений линейного однородного разностного уравнения произвольного порядка
3.8. Построение оболочки односвязной области сходящихся решений однородного разностного линейного уравнения третьего порядка
3.9. Расчет оболочки односвязной области сходящихся решений линейного однородного разностного уравнения четвертого порядка
3.10. Влияние начальных значений на поведение линейной динамической системы
3.11. Примеры построения области вложения
3.12. Поведение линейных динамических систем при внешних воздействиях
   Фиксированное внешнее воздействие
   Периодическое внешнее воздействие
   Случайное внешнее воздействие

Глава 4. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
4.1. Построение множества решений квадратичного разностного уравнения
4.2. Компьютерный расчет множества решений разностного равнения
4.3. Сравнение поведений линейных и нелинейных динамических систем

Глава 5. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИК ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И СИСТЕМ
5.1. Вычисление асимптотической плотности распределения вероятностей односвязной хаотической последовательности
5.2. Разностное приближение дифференциального уравнения Шредингера

Приложение 1. Значимость и пример аналитического расчета 3-цикла для разностного уравнения
Приложение 2. Аналитический эксперимент по распознаванию порядка уравнения

Список использованной литературы
Предметный указатель

Предисловие к 2-му изданию

Первое издание данной монографии было встречено читателями с интересом. Об этом свидетельствуют две одобрительные рецензии, появившиеся в печатных изданиях, а также письменные и устные отзывы.

Из рецензии доктора физико-математических наук проф. Крапивина В.Ф. в журнале "Проблемы окружающей среды и природных ресурсов" (2006, №10, с.117-118): монография "открывает большие перспективы при создании конструктивных методов анализа поведения сложных систем, особенно таких, как природные системы в условиях антропогенного вмешательства в их структуру".

В разделе "Город науки" газета "Калининградская правда" от 3 августа 2006г. опубликовала рецензию Артема Петрова, в которой он пишет, что монография "относится к фундаментальным исследованиям проблемы предсказания катастроф разного характера".

В своей письменной рецензии от 4.V.2007г. член-корреспондент РАН А.В.Николаев (Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН) поддерживает необходимость выхода второго издания монографии и отмечает, что "автор : внес много нового, что может уже сейчас использоваться в практическом анализе различных динамических систем".

Поступили также положительные отзывы из-за рубежа.

В письменном отзыве от 7.06.2007г. директор Института языковой и профессиональной подготовки Карлова университета в Праге Ян Подроужек (Jan Podrou?ek) отмечает, что "монография представляет весомый научный вклад в решение проблемы математического описания и анализа естественных систем" и "используется как методический и учебный материал в Карловом университете в Праге в рамках обучения докторантов и магистров".

Заведующий кафедрой математики доктор естественных наук Милош Канька (Milos Kanka) и доктор естественных наук Лада Элиашова (Lada Eli??ov?) из Высшей школы экономики в Праге (университета) в своем отзыве от 5.06.2007 г. пишут, что "описание и анализ отдельных динамических систем осуществлены на высоком профессиональном уровне" и монография "представляется нам как материал, подходящий для обучения аспирантов/докторантов в технических университетах".

Вдохновленный одобрением читателей и поддержкой издательства университета, автор решился на предлагаемое второе издание. В нем исправлены ошибки, замеченные читателями и автором. Кроме того, добавлены несколько Приложений. В них приведены аналитически точные примеры, которые опровергают некоторые возражения, высказанные в дискуссиях. Для удобства читателей добавлен также Предметный указатель.

Благодарю читателей за высказанные замечания и предложения по улучшению книги. Жду дальнейших пожеланий в адрес автора (е-mail: onn@mgul.ac.ru) и издательства.

Автор

Предисловие (к 1му изданию)

Предлагаемая монография объединяет результаты исследований, проведенных мной за последние десять лет. Основные результаты своевременно опубликованы в центральных научных изданиях и использованы в авторском спецкурсе под одноименным названием, который я поставил и читаю все эти годы для студентов пятого курса кафедры прикладной математики факультета электроники и системотехники Московского государственного университета леса.

Предложение о постановке спецкурса, с которым обратился ко мне проф. Демьянов Ю.А., создавая кафедру прикладной математики, имело целью приобщить студентов, получивших фундаментальные знания по математике и программированию, к решению насущных прикладных задач. В то время я продолжал заниматься задачами кодирования, передачи и обработки телеметрической информации, начатыми в период работы в ракетно-космической промышленности. Однако, перейдя в Московский государственный университет леса на кафедру приборостроения по приглашению её создателя проф. Уткина И.И., а позже и возглавив её под более профилированным названием (кафедра информационно-измерительных систем), я с неизбежностью был вовлечен в тематику университета, связанную с исследованием природообразующих систем.

Значимость исследования этих систем имеет масштаб общечеловеческий, а их анализ по сложности превосходит всё созданное человеком, поскольку Создатель не оставил на них проектной документации с формулами и расчетами.

В данной работе и читаемом спецкурсе автор, используя свой опыт, старался внести посильный вклад в прикладные методы анализа динамических систем, имея в виду, прежде всего природные системы. Ввиду безбрежности публикаций в этой области в список литературы включены лишь те работы, на которые даны ссылки.

Конечно, изложены только те результаты, которые прошли проверку самым строгим судьей - Временем.

При чтении прошу учесть, что нумерация формул, таблиц и рисунков в каждой главе идет заново, поэтому при взаимных ссылках указывается номер главы.

Автор стремился к сжатому изложению материала и не стал включать терминологический и другой справочный материал из быстро развивающейся и поэтому не уставившейся области хаотической динамики и фрактальных множеств. Необходимые сведения можно найти в хороших руководствах: [Мун Ф., 1990], [Кроновер Р.М., 2000], [Данилов Ю.А., 2001], атрибутированных в списке литературы.

Благодарю моих студентов и аспирантов, принявших результативное участие в исследованиях. Фамилии тех студентов, которые не стали соавторами публикаций, упоминаю в тексте с указанием года проведения НИРС (научно-исследовательской работы студента). Понятно, что все они теперь дипломированные специалисты.

Особую благодарность выражаю ст. преподавателю О.К.Чернобровиной за самоотверженную компьютерную работу по набору текста и подготовке рисунков. Под её руководством в этой работе приняли участие студенты: А.В.Хвостенко, Н.В.Ковалева, В.А.Петухов, а также А.С.Скибина, которым я признателен. Компьютерный вариант слайдов для доклада оперативно подготовил Е.А.Панин под руководством доцента Е.Г.Комарова - большое им спасибо.

Очень признателен рецензентам академику РАН А.С.Исаеву, академику РАН Е.И.Шемякину, доктору физ.-мат. наук В.А.Дубровскому за доброжелательную критику и предложения, которые способствовали улучшению окончательной редакции книги.

Благодарю всех участников научно-исследовательского семинара кафедры волновой и газовой динамики мехмата МГУ (состоявшегося 28.XI.2005г.) за проявленный интерес к содержанию монографии и полезное обсуждение.

Автор
E-mail: onn@mgul.ac.ru

Уже не раз математики полагали, что все проблемы ими решены или,
по крайней мере, что ими установлен перечень задач,
которые допускают решение.
Но вслед за тем смысл самого слова "решение"
расширялся, проблемы, считавшиеся неразрешимыми,
становились наиболее интересными; уму представлялись новые задачи,
о которых раньше никто и не думал.
Анри Пуанкаре.

Введение

Главная особенность современных научных проблем - их междисциплинарный характер, когда постановка и решение лежат на стыке нескольких предметных областей и научных направлений.

Одной из таких проблем является, например, прогноз землетрясений, значимость которого для человечества объяснять не надо. Однако эффективность прогноза пока остается низкой.

Специалисты считают, что одна из основных причин низкой эффективности прогноза землетрясений по данным мониторинга - отсутствие адекватной математической модели динамики очага землетрясений и связанных с ним систем: ионосферы, магнитосферы и др. Без такой модели интерпретация измерений различных физических параметров является разрозненной и сводится преимущественно к поиску предвестниковых всплесков. Однако к настоящему времени уверенная причинно-следственная связь таких всплесков и последующих землетрясений не установлена. Это привело некоторых исследователей к пессимистическому выводу о невозможности прямого прогноза землетрясений.

Отсюда следует необходимость построения совокупности математических моделей очага землетрясений и причинно связанных с ним очаговых систем - ионосферной, магнитосферной, эманационной и др., позволяющих отобразить все множество результатов измерений различных физических параметров в виде уравнений динамики систем.

Возьмем проблему из другой предметной области - раннюю диагностику инфаркта миокарда. Одним из медицинских средств здесь является анализ ритмики сердца на основе электрокардиограмм (ЭКГ), измеряемых в нескольких отведениях.

Проблема раннего (долговременного) прогноза катастрофических явлений выдвинулась в число первоочередных в экологии (вспышки популяции вредителей леса, озоновые "дыры"), в экономике (дефолт, резкое падение цен акций), в технике (остаточный ресурс работы двигателя) - практически во всех предметных областях.

Проблема становится междисциплинарной и, если считать землетрясение, инфаркт, экологическую и другую катастрофу не аномалией, а одним из естественных (но экстремальных) поведений динамической системы в процессе её эволюции, то общей математической базой решения проблемы является решение трех задач, объединяемых общим названием - идентификация и анализ динамических систем и составляющих предмет данной книги:

• Построение уравнения динамической системы по последовательности измеренных значений наблюдаемых параметров.
• Нахождение полного множества решений уравнения, характеризующих все возможные поведения системы.
• Выявление условий возникновения критических (предкатастрофических) режимов динамической системы и оценка их осуществимости на основании поступающих измерений, вводимых в уравнение.

Первая из этих задач представляет собой идентификацию динамической системы (установление соответствия системы её математическому образу). Вторая и третья задачи - это анализ динамической системы.

Смысл идентификации и анализа в том, чтобы построив уравнение по одному из зарегистрированных поведений системы, описать с его помощью и другие возможные поведения (при вариации коэффициентов и начальных/граничных условий), в том числе и те, которые в реальности еще не наблюдались, особенно характеризующие предкритические и критические ситуации.

Под системой понимается объединение функционально связанных элементов. Динамической называется система, поведение которой изменяется во времени.

Математическим описанием поведения системы является решение её уравнения при заданных коэффициентах и начальных/граничных условиях.

В данной работе рассмотрим только разностные уравнения, считая время дискретным. Не углубляясь в философско-физическую интерпретацию времени как имеющего событийную природу (форму смены состояний материи), мы исходим здесь из дискретности времени наблюдений (измерений), ориентированных на цифровые средства передачи и обработки информации, главенствующие во всех отраслях.

При таком подходе непрерывное время можно считать аппроксимацией дискретного, а дифференциальное уравнение - аппроксимацией разностного.

При докритических значениях параметров существуют два типа поведений автономной системы - затухающие и незатухающие колебания.

Затухающие колебания соответствуют устойчивому поведению системы.

Незатухающие колебания, которые описывают неустойчивое поведение системы, вызывают уже многие годы пристальный интерес исследователей, в том числе и потому, что такое поведение систем может быть непредсказуемо и потому - неуправляемо. Среди этих колебаний известны циклические, почти периодические и хаотические.

Возникновение таких колебаний часто свидетельствует о приближении системы к критическим границам.

Если значения параметров выйдут за пределы критических границ, то решение уравнения становится расходящимся, что означает необратимую потерю целостности системы (разрушение, распад, взрыв).

Для прогноза поведения системы необходимо изучить все возможные (а не только зарегистрированные) поведения системы, а это требует задания (нахождения) уравнения и анализа всего множества решений.